ln2（OEIS數列A002162）約為：
2的自然對數2的自然對數
數表—無理數
2
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}
-
φ
{\displaystyle \color {blue}\varphi }
-
3
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}
-
5
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}
-
δ
S
{\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}
-
e
{\displaystyle \color {blue}e}
-
π
{\displaystyle \color {blue}\pi }
識別種類無理數符號
ln
2
{\displaystyle \ln {2}}
性質連分數[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10] （OEIS數列A016730）
0
+
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
1
+
1
6
+
⋱
{\displaystyle 0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}}}}}}}
以此為根的多項式或函數
e
x
−
2
=
0
{\displaystyle e^{x}-2=0}
[1]表示方式值
ln
2
≈
{\displaystyle \ln {2}\approx }
0.693147180...二進制0.101100010111001000010111…十進制0.693147180559945309417232…十六進制0.B17217F7D1CF79ABC9E3B398…
ln
2
≈
0.693147
{\displaystyle \ln 2\approx 0.693147}
使用對數公式
log
b
2
=
ln
2
ln
b
.
{\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}
可以求出log2，它約為：（OEIS數列A007524）
log
10
2
≈
0.301029995663981195
{\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301029995663981195}
。
數學家理察·施羅培爾（英語：Richard Schroeppel）在1972年證明，不尋常數的自然密度等於
ln
2
{\displaystyle \ln 2}
。換言之，若
u
(
n
)
{\displaystyle u(n)}
表示不大於
n
{\displaystyle n}
的自然數之中，有多少個數
a
{\displaystyle a}
具有大於
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
的質因數，則有：
lim
n
→
∞
u
(
n
)
n
=
ln
(
2
)
=
0.693147
…
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.}
目次
1 公式
2 積分公式
3 其他公式
4 其他對數
4.1 範例
5 10的自然對數
6 參考文獻
7 外部連結
8 參見
公式
編輯
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
2
)
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
2
ln
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
4
n
2
−
1
)
=
2
ln
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
4
n
2
−
1
)
=
ln
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
9
n
2
−
1
)
=
2
ln
2
−
3
2
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}
∑
n
=
2
∞
1
2
n
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
ln
2
−
1
2
.
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}
∑
n
=
1
∞
1
2
n
+
1
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
1
−
γ
−
1
2
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {1}{2}}\ln 2.}
∑
n
=
1
∞
1
2
2
n
(
2
n
+
1
)
ζ
(
2
n
)
=
1
2
(
1
−
ln
2
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1}{2}}(1-\ln 2).}
γ
{\displaystyle \gamma }
是歐拉-馬歇羅尼常數，
ζ
{\displaystyle \zeta }
是黎曼ζ函數。
ln
2
=
∑
k
≥
1
1
k
2
k
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k2^{k}}}.}
[2]:31
ln
2
=
∑
k
≥
1
(
1
3
k
+
1
4
k
)
1
k
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{3^{k}}}+{\frac {1}{4^{k}}}\right){\frac {1}{k}}.}
ln
2
=
2
3
+
∑
k
≥
1
(
1
2
k
+
1
4
k
+
1
+
1
8
k
+
4
+
1
16
k
+
12
)
1
16
k
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}
（貝利－波爾溫－普勞夫公式）
ln
2
=
2
3
∑
k
≥
0
1
(
2
k
+
1
)
9
k
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)9^{k}}}.}
（基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）
積分公式
編輯
∫
0
1
d
x
1
+
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2}
∫
1
∞
d
x
(
1
+
x
2
)
(
1
+
x
)
2
=
1
4
(
1
−
ln
2
)
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}(1-\ln 2)}
∫
0
∞
d
x
1
+
e
n
x
=
1
n
ln
2
;
∫
0
∞
d
x
3
+
e
n
x
=
2
3
n
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {1}{n}}\ln 2;\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2}{3n}}\ln 2}
∫
0
∞
(
1
e
x
−
1
−
2
e
2
x
−
1
)
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\right)=\ln 2}
∫
0
∞
e
−
x
1
−
e
−
x
x
d
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}dx=\ln 2}
∫
0
1
ln
x
2
−
1
x
ln
x
d
x
=
−
1
+
ln
2
+
γ
{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln {\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}dx=-1+\ln 2+\gamma }
∫
0
π
3
tan
x
d
x
=
2
∫
0
π
4
tan
x
d
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan xdx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan xdx=\ln 2}
∫
−
π
4
π
4
ln
(
sin
x
+
cos
x
)
d
x
=
−
π
4
ln
2
{\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln(\sin x+\cos x)dx=-{\frac {\pi }{4}}\ln 2}
∫
0
1
x
2
ln
(
1
+
x
)
d
x
=
2
3
ln
2
−
5
18
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)dx={\frac {2}{3}}\ln 2-{\frac {5}{18}}}
∫
0
1
x
ln
(
1
+
x
)
ln
(
1
−
x
)
d
x
=
1
4
−
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {1}{4}}-\ln 2}
∫
0
1
x
3
ln
(
1
+
x
)
ln
(
1
−
x
)
d
x
=
13
96
−
2
3
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {13}{96}}-{\frac {2}{3}}\ln 2}
∫
0
1
ln
x
(
1
+
x
)
2
d
x
=
−
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}dx=-\ln 2}
∫
0
1
ln
(
1
+
x
)
−
x
x
2
d
x
=
1
−
2
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}dx=1-2\ln 2}
∫
0
1
d
x
x
(
1
−
ln
x
)
(
1
−
2
ln
x
)
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2}
∫
1
∞
ln
ln
x
x
3
d
x
=
−
1
2
(
γ
+
ln
2
)
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln x}{x^{3}}}dx=-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2)}
γ
{\displaystyle \gamma }
是歐拉-馬歇羅尼常數。
其他公式
編輯
用皮爾斯展開式（A091846）表達ln2：
log
2
=
1
1
−
1
1
⋅
3
+
1
1
⋅
3
⋅
12
−
…
{\displaystyle \log 2={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\ldots }
.
用恩格爾展開式A059180表達ln2：
log
2
=
1
2
+
1
2
⋅
3
+
1
2
⋅
3
⋅
7
+
1
2
⋅
3
⋅
7
⋅
9
+
…
{\displaystyle \log 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\ldots }
.
用餘切展開式A081785表達ln2：
log
2
=
cot
(
arccot
0
−
arccot
1
+
arccot
5
−
arccot
55
+
arccot
14187
−
…
)
{\displaystyle \log 2=\cot(\operatorname {arccot} 0-\operatorname {arccot} 1+\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 55+\operatorname {arccot} 14187-\ldots )}
.
其他對數
編輯
範例
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10的自然對數
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參考文獻
編輯
^ Wolfram, Stephen. "e^x-2=0". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
^ Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. §2.2 Integer Relation Detection. Experimental Mathematics in Action. A K Peters/CRC Press. 2007: pp. 29-31. ISBN 978-1568812717. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
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Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17. Proc. Nat. Acac. Sci. U. S. A. 1940, 26: 205–212. MR0001523.
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Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian-Mersenne primes (PDF). Journal of Integer Sequences. 2003, 6: 03.3.7 [2011-01-08]. MR2046407. （原始內容 (PDF)存檔於2011-06-06）.
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外部連結
編輯
埃里克·韋斯坦因. Natural logarithm of 2. MathWorld.
table of natural logarithms. PlanetMath.
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. The logarithm constant:log 2. [2011-01-08]. （原始內容存檔於2020-02-23）.
參見
編輯
對數
自然對數
常用對數
超越數